OBEMEP 2012 NÍVEL 3 - 1a. FASE
1. Um quadrado de lado 1 cm roda em torno de um quadrado de 2 cm, como na figura, partindo da posição inicial e completando um giro cada vez que um de seus lados fica apoiado em um lado do quadrado maior.
Qual das figuras a seguir, representa a posição dos dois quadrados após 2012º giro?
SOLUÇÃO:
A cada 8 giros, o quadrado menor volta a ocupar a mesma posição, veja:
Sendo assim, 8 giros corresponde a uma volta completa. Vamos então, dividir 2012 por 8 e considerar o resto da divisão, ele idicará o local onde o quadrado menor se posicionará no final dos giros.
2012 / 8 = 251 (resto 4), portanto, á posição de número 4 será a parada do quadrado menor. Letra A.
2. Renata montou uma sequência de triângulos com palitos de fósforo, seguindo o padrão indicado na figura. Um desses triângulos foi construído com 135 palitos de fósforo. Quantos palitos tem um lado desse triângulo?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
SOLUÇÃO:
Na primeira etapa, temos 1 triângulo com 3 palitos, um para cada lado, sendo assim, utlizamos 3 x 1 palitos.
Na segunda etapa, formamos um triângulo, onde cada lado é formado por 2 palitos, acrescentando ao triângulos anterior dois triângulos iguais ao primeiro e cada um deles com 3 palitos.
Na terceira etapa, temos um novo triângulo, onde cada lado é formado por 3 palitos, acrescentando ao triângulos anterior três triângulos iguais ao primeiro e cada um deles com 3 palitos.
Esse processo pode ser repetido até termos um triângulo em que cada lado é formado por n palitos.
Portanto, o número de palitos necessários para formar um triângulo em que cada lado é formado por n palitos é igual a:
